Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2} - 48}{x^{2} + 15 x + 56} - \frac{x - 8}{x + 8}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 15 x + 56$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $56$ et dont la somme est $15$ .

$7, 8$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{x - 8}{x + 8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 7) (x + 8)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x - 8}{x + 8}$ par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 8) (x + 7)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 8) (x + 7)$ .

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - 48 - (x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 48 + (- x - - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 48 + (- x + 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.3

Développez $(- x + 8) (x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 48 - x (x + 7) + 8 (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 48 - (x \cdot x) - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $8$ par $7$ .

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.2

Additionnez $- 7 x$ et $8 x$ .

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.5

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 48 + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.6

Soustrayez $48$ de $0$ .

$\frac{- 48 + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.7

Additionnez $- 48$ et $56$ .

$\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + 7}$